6.5 Interferenz an dünnen Schichten

Quelle: Themenpool §6 (siehe auch Optik)

Phänomen und Mechanismus

Das Schillern von Seifenblasen, Ölfilmen, Vergütungsschichten (Brillen, Linsen), Schmetterlingsflügeln und CDs.

Der Mechanismus: Licht wird teils an der Oberseite der Schicht reflektiert, teils tritt es ein, wird an der Unterseite reflektiert und tritt wieder aus. Die beiden reflektierten Wellen laufen ein Stück versetzt und überlagern sich — sie interferieren. Ob es an einer Stelle hell oder dunkel wird, entscheidet, ob die beiden Wellen im Takt (Berg auf Berg) oder gegentaktig (Berg auf Tal) ankommen.

Bedingungen

Den „Versatz" misst man als Phasendifferenz $\mathrm{\Delta }\phi$. $\mathrm{\Delta }\phi \dots$ Phasenunterschied der beiden reflektierten Wellen; $n=0,1,2,\dots$ Ordnungszahl (✎ nicht mit dem Brechungsindex $n$ weiter unten verwechseln!).

Interferenz	Bedingung	Bild
konstruktiv	$\mathrm{\Delta }\phi =2\pi n$	Berg trifft Berg → hell
destruktiv	$\mathrm{\Delta }\phi =(2n+1)\pi$	Berg trifft Tal → dunkel

✎ Eine volle Wellenlänge $\lambda$ entspricht der Phase $2\pi$. Konstruktiv heißt: Der Versatz ist ein ganzzahliges Vielfaches von $\lambda$ ($\mathrm{\Delta }\phi =2\pi n$), die Berge fallen zusammen. Destruktiv heißt: Der Versatz ist ein halbzahliges Vielfaches ($\mathrm{\Delta }\phi =\pi ,3\pi ,\dots$), Berg trifft Tal und beide löschen sich aus.

Phasensprung und Gangunterschied

Zwei Dinge erzeugen zusammen den Phasenunterschied $\mathrm{\Delta }\phi$: (1) der geometrische Umweg der unteren Welle durch die Schicht und (2) ein möglicher Phasensprung bei der Reflexion.

(1) Woher kommt der Gangunterschied $2nd$? Schritt für Schritt, bei senkrechtem Einfall:

1. Die untere Welle muss die Schicht hinunter und wieder hinauf durchlaufen — geometrisch ein Extraweg von $d$ (hinunter) $+d$ (hinauf) $=2d$. $d\dots$ Schichtdicke.
2. In der Schicht ist Licht aber langsamer: Die Wellenlänge verkürzt sich auf ${\lambda }_{\text{Medium}}={\displaystyle \frac{\lambda }{n}}$. $n\dots$ Brechungsindex der Schicht. Für die Interferenz zählt nicht der geometrische, sondern der optische Weg — also der geometrische Weg, multipliziert mit $n$ (man rechnet zurück, wie viele Vakuum-Wellenlängen hineinpassen).
3. Optischer Gangunterschied: geometrischer Umweg $\times n$: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }{s}_{\text{opt}}=2nd}}$. (Bei schrägem Einfall kommt ein Winkelfaktor hinzu; senkrecht ist es genau $2nd$.)

(2) Der Phasensprung. Bei Reflexion am optisch dichteren Medium (größeres $n$) springt die Phase zusätzlich um $\pi$ (= ein halbes $\lambda$); am dünneren Medium nicht. Beispiel Seifenblase (Luft → Wasser → Luft): oben (Luft → Wasser, ins Dichtere) Phasensprung, unten (Wasser → Luft, ins Dünnere) kein Sprung. Dieser eine Phasensprung kehrt die Bedingungen um — deshalb ist eine sehr dünne Seifenhaut ($d\to 0$, also $\mathrm{\Delta }{s}_{\text{opt}}\to 0$) im reflektierten Licht dunkel statt hell: Der alleinige Phasensprung sorgt schon für Auslöschung.

Der Phasensprung folgt einem Satz der Wellenlehre (gilt für jede Welle, auch auf einem Seil):

Am festen Ende wird ein Wellenberg als Wellental reflektiert (Phasensprung um $\pi$).Am freien Ende wird ein Wellenberg als Wellenberg reflektiert (kein Sprung).

Für Licht heißt das: Reflexion an der Grenzfläche „Luft → Glas" (optisch dichter = „festes Ende") springt um $\pi$; „Glas → Luft" (dünner = „freies Ende") springt nicht.

✎ Anwendung gerechnet — die λ/4-Antireflexschicht. Auf Glas ($n\approx 1,5$) sitzt eine dünne Schicht mit mittlerem Brechungsindex (z. B. MgF₂, $n\approx 1,38$): Es gilt $n_{\text{Luft}}<n_{\text{Schicht}}<n_{\text{Glas}}$, also wird an beiden Grenzflächen ins Dichtere reflektiert → beide Wellen springen um $\pi$ → die Phasensprünge heben sich gegenseitig auf, es zählt allein der Gangunterschied $2nd$. Damit sich die beiden Reflexe auslöschen, braucht es $2nd=\frac{\lambda }{2}$, also $d={\displaystyle \frac{\lambda }{4n}}$ — eine Viertelwellenlängen-Schicht (für grünes Licht, $\lambda \approx 550$ nm, wo das Auge am empfindlichsten ist: $d\approx 100$ nm). Wohin verschwindet die Energie? Sie wird nicht vernichtet, sondern geht ins durchgehende Licht — genau der Zweck der Vergütung (mehr Licht in Kamera/Auge/Solarzelle). Da die Bedingung nur für eine Wellenlänge exakt stimmt, schimmert der Restreflex purpur/violett (Rot- und Blau-Anteile bleiben).

Newton'sches Farbenglas (Newton'sche Ringe)

Quelle: Mappe (Friedl) S. 30–31

Legt man eine schwach gewölbte Sammellinse auf eine ebene Glasplatte, entsteht dazwischen eine dünne, nach außen dicker werdende Luftschicht. Bei senkrechter Beleuchtung mit monochromatischem Licht (einfarbiges Licht einer einzigen Wellenlänge, z. B. aus einem Laser) sieht man konzentrische helle und dunkle Ringe (im reflektierten Licht ist die Mitte dunkel, im durchgehenden hell — beide Bilder sind komplementär). Mit blauem Licht stehen die Ringe enger als mit rotem → blaues Licht hat die kleinere Wellenlänge.

Die Helligkeit hängt von der Dicke $d$ der Luftschicht ab (Phasensprung nur an der unteren Grenzfläche Luft → Glas):

$$\text{reflektiert dunkel: }2d=2k\cdot \frac{\lambda }{2}\text{durchgehend dunkel: }2d=(2k+1)\frac{\lambda }{2}(k=0,1,2,\dots )$$

Ringradien. Mit Krümmungsradius $R$ der Linse und Ringradius $r$ gilt nach dem Höhensatz (Satz aus der Kreisgeometrie: im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Höhe gleich dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte) $r^2=d(2R-d)\approx 2Rd$ (da $d\ll R$), also $d=r^2/(2R)$. Für den $k$-ten dunklen Ring im reflektierten Licht folgt $2\cdot \frac{r^2}{2R}=2k\cdot \frac{\lambda }{2}$, somit:

$$\boxed{{\displaystyle \lambda =\frac{r^2}{k\cdot R}}}$$

Kennt man $R$, liefert das Ausmessen der Ringradien dieselbe Wellenlänge wie das Gitterspektrum (die mit einem optischen Gitter — vielen feinen, eng nebeneinanderliegenden Spalten — durch Beugung erzeugte Wellenlängenmessung) — eine unabhängige Bestätigung.

✎ Umkehrung — Präzisionsmessung. Kennt man $\lambda$, misst man damit kleinste Längen. Zwei Glasplatten, an einer Kante berührend, an der anderen durch ein Haar getrennt, bilden einen Luftkeil; mit rotem Licht ($\lambda =650$ nm) zeigen sich dunkle Streifen. Liegt der 41. Streifen am Haar ($k=40$), so ist die Haardicke $d=40\cdot \frac{650\cdot {10}^{-9}}{2}\text{m}=13\cdot {10}^{-6}$ m. So legte man 1960 international fest: 1 Meter = 1 650 763,73 Wellenlängen der orange-roten Krypton-86-Spektrallinie — eine reproduzierbare Längendefinition (bis sie 1983 durch die Lichtgeschwindigkeit ersetzt wurde).

Farbabhängigkeit und Anwendungen

Verschiedene Wellenlängen erfüllen die Bedingungen unterschiedlich → manche Farben verstärken sich, andere löschen aus → Schillern.

✎ Warum ändern sich die Farben mit dem Blickwinkel? Bei schrägem Einfall ändert sich der Gangunterschied ($\mathrm{\Delta }s=2nd\cos \beta$ mit dem Brechungswinkel $\beta$ in der Schicht): Je flacher man schaut, desto kleiner wird er → die konstruktive Bedingung erfüllt eine kürzere Wellenlänge → beim Kippen der Seifenblase/des Flügels verschiebt sich die Farbe Richtung Blau. Genau diese Winkelabhängigkeit unterscheidet Strukturfarben von Pigmentfarben (ein Farbstoff sieht aus jedem Winkel gleich aus).

Anwendungen: Antireflexbeschichtungen (Brillen, Kameras, Solarzellen), optische Beschichtungen in Lasern, Strukturfarben in der Natur (Schmetterlinge, Pfauenfedern, Käfer).

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